本文系统地梳理一下考研数学中关于逆矩阵的核心知识点和常见题型。这部分内容是线性代数的基石，几乎每年必考。
一、逆矩阵的核心特点与性质
首先，我们要明确一点：只有方阵（行数和列数相等的矩阵）才可能讨论逆矩阵。记矩阵 $ A $ 的逆矩阵为 $ A^{-1} $。
1. 定义
如果存在一个矩阵 $ B $，使得：
$$ AB = BA = E $$
（其中 $ E $ 为单位矩阵）
那么称矩阵 $ A $ 可逆，并称 $ B $ 为 $ A $ 的逆矩阵，记作 $ A^{-1} $。
2. 逆矩阵存在的充要条件
这是判断和证明的核心依据。
- 行列式非零：$ |A| \neq 0 $。这是最常用、最基本的判定条件。
- 满秩：矩阵 $ A $ 是满秩矩阵，即 $ r(A) = n $（对于 $ n $ 阶方阵而言）。
- 行/列向量组线性无关：$ A $ 的行（或列）向量组线性无关。
- 非奇异矩阵：可逆矩阵也称为非奇异矩阵。
- 特征值非零：$ A $ 的所有特征值都不为零。
3. 重要性质（常考）
设 $ A, B $ 为 $ n $ 阶可逆矩阵，$ k $ 为非零常数，则：
1、 唯一性：若逆矩阵存在，则必唯一。
2、 自反性：$ (A^{-1})^{-1} = A $。
3、 乘积的逆：$ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $。（非常重要！顺序要颠倒）
4、 转置的逆：$ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $。
5、 数乘的逆：$ (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} $。
6、 行列式的逆：$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $。
7、 与伴随矩阵的关系：$ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* $。（这是求逆矩阵的基本公式之一）
二、常见的考题类型与解题方法
考研中关于逆矩阵的题目可以大致分为以下几类：
类型一：直接计算逆矩阵
题目特征：给定一个具体矩阵，要求求出其逆矩阵 $ A^{-1} $。
常用方法：
1、 公式法（伴随矩阵法）：$ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* $。适用于2阶或3阶矩阵，因为计算伴随矩阵 $ A^* $ 的工作量对于高阶矩阵会非常大。
2、 初等行变换法（最常用、最通用）：构造增广矩阵 $ (A | E) $，然后对其进行初等行变换，当左边部分化为单位矩阵 $ E $ 时，右边部分就是逆矩阵 $ A^{-1} $。$$ (A | E) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (E | A^{-1}) $$
3、 分块矩阵法：对于分块对角矩阵，其逆矩阵等于主对角线上各子块逆矩阵构成的分块对角矩阵。
$$ \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{pmatrix} $$
对于其他特殊结构的分块矩阵，有专门的求逆公式（如求 $ \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}^{-1} $）。
类型二：抽象矩阵的逆矩阵计算与证明
题目特征：给定抽象矩阵满足的方程或关系，求其逆矩阵或证明其可逆。
解题思路：
定义法：通过恒等变形，凑出 $ AB = E $ 的形式，则 $ B = A^{-1} $。
- 例题：已知 $ A^2 + 2A + E = 0 $，证明 $ A $ 可逆并求 $ A^{-1} $。
解：由 $ A^2 + 2A + E = 0 $ 得 $ A(A + 2E) = -E $，即 $ A[-(A+2E)] = E $。根据定义，$ A^{-1} = -(A+2E) $。
- 例题：已知 $ A^2 + 2A + E = 0 $，证明 $ A $ 可逆并求 $ A^{-1} $。
性质法：利用逆矩阵的性质进行推导。
- 例题：已知 $ A, B, A+B $ 均可逆，求 $ (A^{-1} + B^{-1})^{-1} $。
解：$ A^{-1} + B^{-1} = A^{-1}(E + AB^{-1}) = A^{-1}(BB^{-1} + AB^{-1}) = A^{-1}(B+A)B^{-1} $。
所以，$ (A^{-1} + B^{-1})^{-1} = (A^{-1}(A+B)B^{-1})^{-1} = B(A+B)^{-1}A $。
- 例题：已知 $ A, B, A+B $ 均可逆，求 $ (A^{-1} + B^{-1})^{-1} $。
- 反证法：在证明题中，假设不可逆，推导出矛盾。
类型三：与伴随矩阵 $ A^* $ 结合的考题
题目特征：题目中同时出现 $ A^{-1} $ 和 $ A^* $，利用关系 $ AA^* = A^*A = |A|E $ 和 $ A^{-1} = \frac{A^*}{|A|} $ 进行求解。
常见问题：
- 已知 $ |A| $ 和某个 $ A^* $ 的表达式，求 $ |B| $（其中 $ B $ 与 $ A $ 有关）。
- 计算 $ (kA^*)^T $ 的逆矩阵等。
- 关键：牢记 $ A^* = |A|A^{-1} $，并熟练运用行列式和逆矩阵的性质。
类型四：矩阵方程求解
题目特征：方程中含有未知矩阵 $ X $，需要通过逆矩阵来求解。例如 $ AX = B $, $ XA = B $, $ AXB = C $ 等。
解题方法：
1、 判断系数矩阵是否可逆。
2、 利用逆矩阵“消元”：
- 若 $ A $ 可逆，$ AX = B \implies X = A^{-1}B $。
- 若 $ B $ 可逆，$ XA = B \implies X = BA^{-1} $。
- 若 $ A, B $ 均可逆，$ AXB = C \implies X = A^{-1}CB^{-1} $。
3、 如果系数矩阵不可逆，则需要通过设未知元或初等变换法来求解。
类型五：判断矩阵是否可逆
题目特征：直接问“矩阵 $ A $ 是否可逆？”或作为解题的第一步。
解题方法：
- 计算行列式 $ |A| $，若 $ |A| \neq 0 $ 则可逆。
- 判断秩 $ r(A) $ 是否等于 $ n $。
- 看是否有零特征值。
三、真题风格举例
1、 (基础计算题) 设 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $，求 $ A^{-1} $。
考查点：伴随矩阵法或初等行变换法。
2、 (抽象证明题) 设 $ A $ 为 $ n $ 阶方阵，且满足 $ A^2 - A - 2E = 0 $。证明 $ A $ 和 $ A + E $ 都可逆，并求它们的逆矩阵。
考查点：定义法凑逆。由 $ A(A-E)=2E $ 得 $ A^{-1} = \frac{1}{2}(A-E) $。
3、 (性质应用题) 已知 $ A, B $ 都是 $ n $ 阶可逆矩阵，则 $ (2A^TB^{-1})^{-1} = $ ?
考查点：逆矩阵的综合性质。$ (2A^TB^{-1})^{-1} = (B^{-1})^{-1}(A^T)^{-1}\frac{1}{2} = B(A^{-1})^T\frac{1}{2} $。
4、 (矩阵方程题) 解矩阵方程 $ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $。
考查点：矩阵方程求解。$ X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} $。
总结与备考建议
1、 夯实基础：必须熟练掌握逆矩阵的定义、充要条件和所有重要性质。
2、 方法熟练：初等行变换法是计算逆矩阵的“万能钥匙”，必须达到非常熟练的程度。公式法（伴随矩阵法）也要会，主要用于低阶矩阵和理论推导。
3、 融会贯通：逆矩阵的知识与行列式、矩阵的秩、向量组线性相关性、特征值、矩阵方程等知识点紧密相连，做题时要注意联系。
4、 多做练习：通过大量练习来熟悉各种题型和解题技巧，特别是抽象矩阵的题目，能够很好地锻炼你的代数变形和逻辑推理能力。
最后，希望这份总结能帮助大家更好地掌握考研数学中的逆矩阵部分！