在线性代数中，单位矩阵在考研真题中通常以以下几种形式出现，这些形式不仅考查基本概念，还常与其他知识点结合，需要考生灵活掌握：

1. 定义与基本性质

  • 直接考查定义：
    单位矩阵 $ E $（或 $ I $）是主对角线元素全为1、其余元素全为0的方阵，满足 $ A E = E A = A $。
  • 真题常见形式：
    选择题或填空题中直接判断单位矩阵的性质，例如：

“若 $ A $ 为 $ n $ 阶矩阵，且 $ A^2 = A $，则 $ A $ 可能是单位矩阵或零矩阵吗？” （需结合幂等矩阵的性质分析）

2. 矩阵运算与化简

  • 利用单位矩阵进行恒等变形：
    例如在矩阵方程 $ AX = B $ 中，若 $ A $ 可逆，解为 $ X = A^{-1}B $，其中 $ A^{-1}A = E $。
  • 伴随矩阵与逆矩阵：
    公式 $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* $ 中隐含 $ A A^* = |A| E $。
  • 真题举例：

已知 $ A, B $ 为 $ n $ 阶矩阵，$ A + B = AB $，证明 $ A - E $ 可逆。
（通过变形 $ AB - A - B + E = E $ 得 $ (A-E)(B-E) = E $）

3. 特征值与特征向量

  • 单位矩阵的特征值：
    $ E $ 的特征值全为1，任意非零向量均为其特征向量。
  • 与相似对角化的结合：
    若 $ A $ 可相似对角化，即 $ A = P \Lambda P^{-1} $，则 $ A - kE = P (\Lambda - kE) P^{-1} $。
  • 真题举例：

设 $ A $ 满足 $ A^2 - 3A + 2E = 0 $，求 $ A $ 的特征值可能取值。
（通过解 $ \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 $ 得 $ \lambda = 1 $ 或 $ 2 $）

4. 矩阵的秩与分块矩阵

  • 分块单位矩阵的应用：
    例如在分块矩阵运算中，$ \begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix} $ 用于构造或化简矩阵。
  • 秩的恒等式：
    如 $ \text{rank}(A - \lambda E) $ 用于判断特征值的几何重数。
  • 真题举例：

设 $ A $ 为 $ n $ 阶矩阵，且 $ (A - E)(A - 2E) = 0 $，证明 $ \text{rank}(A - E) + \text{rank}(A - 2E) = n $。

5. 线性方程组与向量空间

  • 齐次方程组的基础解系：
    方程 $ (A - E)X = 0 $ 的解对应特征值1的特征向量。
  • 单位矩阵作为标准基：
    在坐标变换中，单位矩阵的列向量代表标准正交基。

6. 特殊矩阵的分解与证明

  • 正交矩阵与单位矩阵：
    若 $ Q $ 是正交矩阵，则 $ Q^T Q = E $。
  • 幂等矩阵与投影：
    若 $ P^2 = P $，则 $ (E - P)^2 = E - P $（也是幂等矩阵）。

总结

在考研真题中，单位矩阵很少单独出现，而是作为工具或桥梁与其他概念（如逆矩阵、特征值、秩、线性变换）结合。掌握以下关键点：
1、 定义与运算性质；
2、 在矩阵方程中的恒等变形作用；
3、 与特征值、相似对角化的关联；
4、 在秩的证明与分块矩阵中的应用。

建议通过历年真题中的综合题进行针对性练习，例如涉及“矩阵方程”“相似对角化”或“秩的等式”的题目，往往需要灵活运用单位矩阵的性质。