在线性代数中，“定的”通常指的是矩阵的定性（definiteness），主要用于描述实对称矩阵或埃尔米特矩阵（复数域上的推广）的性质。矩阵的定性通过其对应的二次型来定义，并在优化、微分方程、物理学等领域有重要应用。

以下是常见的矩阵定性分类：

1. 正定矩阵

  • 定义：对于任意非零向量 $ \mathbf{x} $，其对应的二次型满足：

$$ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0 $$

  • 性质：

    • 所有特征值均为正数。
    • 所有顺序主子式（顺序主子矩阵的行列式）均大于零。
    • 矩阵可逆，且其逆矩阵也是正定的。
  • 示例：单位矩阵 $ I $ 是正定的，因为 $ \mathbf{x}^T I \mathbf{x} = \|\mathbf{x}\|^2 > 0 $。

2. 半正定矩阵

  • 定义：对于任意向量 $ \mathbf{x} $，满足：

$$ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \geq 0 $$

  • 性质：

    • 所有特征值非负。
    • 存在零特征值时，矩阵不可逆。
  • 示例：矩阵 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $ 是半正定的。

3. 负定矩阵

  • 定义：对于任意非零向量 $ \mathbf{x} $，满足：

$$ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} < 0 $$

  • 性质：

    • 所有特征值均为负数。
    • 奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正。
  • 示例：$ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $。

4. 半负定矩阵

  • 定义：对于任意向量 $ \mathbf{x} $，满足：

$$ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \leq 0 $$

  • 性质：所有特征值非正。

5. 不定矩阵

  • 定义：二次型既能取正值也能取负值。
  • 性质：矩阵同时存在正特征值和负特征值。
  • 示例：$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $ 对应的二次型为 $ x_1^2 - x_2^2 $。

6. 应用场景

  • 优化问题：正定矩阵对应凸函数的 Hessian 矩阵，保证局部极小值为全局极小值。
  • 微分方程：在稳定性分析中，系统的雅可比矩阵的定性决定平衡点的性质。
  • 统计学：协方差矩阵是半正定的。

7. 判断方法

1、 特征值检验：计算矩阵的特征值，根据符号判断定性。

2、 主子式检验（Sylvester 准则）：通过计算顺序主子式的符号判断正定性（仅适用于实对称矩阵）。

总结来说，“定的”是描述矩阵通过二次型所体现的符号性质，是矩阵理论中连接代数与几何的重要概念。